对 VAE 的理解与实现

本文最后更新于：2023年12月5日下午

之前我们介绍过 ELBO 和 VAE，本文记录我自己的理解与实现。

问题描述

假设我们有来自某一未知分布 $p$ 的随机变量观测样本集 $X$，如何从 $X$ 获取 $p$？

构造生成器还是评估器

对于某个分布，有两种方式可以描述这一分布
- 构造生成器：获取一个生产样本的生成器$g$，$g$ 生成的样本和 $p$ 的样本来源相同（不可区分）
- 构造评估器：构造一个样本评估器 $e$ ，对于给定的样本 $x$，$e$ 可以产生和 $p$ 相同的概率密度， $e(x) = p(x)$

直接构造评估器路线

解决上述问题的直观想法是构造一个关于参数 $\alpha$ 的分 $p_\alpha$，从其中选择与 $p$ 最接近的，那么就让他们作为评估器，给定相同样本输出与 $p$ 相同的概率密度就好啦~
但问题是我们不知道样本 $x$ 的真实概率密度 $p(x)$，而且难以保证对于所有可能的 $x$ 组成的集合 $X_{all}$，我们的 $\sum_{x\in {X_{all}}} p_\alpha(x) = 1$，这应该是不可能完成的约束，因此直接构造评估器的路线并不现实

ELBO 路线

如果我们有一组关于参数 $\beta$ 的生成器族 $g_\beta$，可以不断生成和 $x$ 维度相同的数据，优化 $\beta$ 使得生成的数据和 $p$ 生成的数据难以区分，我们就可以说得到了 $p$ 的近似分布，GAN 基本上就延用了这个思路
如果我们觉得直接用模型描述 $X$ 分布困难或过于暴力，我们可以引入带有隐变量 $z$ 的概率分布，也就走上了 ELBO 的生成模型道路
在ELBO 的生成模型中，我们为了描述复杂的概率分布引入了 $z$，建立了 $X,Z$ 的联合分布，但是这个 $z$ 却是个大麻烦，因为我们的目标是 $p$，这个分布和 $Z$ 无关，仅和 $X$ 有关，我们还得把 $z$ 消掉
直接的想法是对 $z $ 积分，$ p_{\theta}(x)=\int p_{\theta}(x \mid z) p(z) d z $，可以蒙特卡洛积分计算，但是如果要求精度会很慢，因此我们转向贝叶斯的思路，也就走上了 ELBO 贝叶斯评估器的道路
ELBO 的神奇之处在于同时结合了生成器和评估器的分布描述方式，在多处受阻的境况中巧妙运用贝叶斯公式找到了一种可以参数化、可以优化、贪心最大化变量 (ELBO) 的方法

VAE

我理解 VAE 是对 ELBO 的直接实现
VAE 具象化了 ELBO 推导中的分布
- $$
  p(z) = N(0,1)
  $$
- $$
  p(z|x)=N(z;\mu (x), diag(\sigma(x)^2))
  $$
直接优化 ELBO
$$ \begin{aligned} ELBO &=\int_{z} q(z \mid x) \log \left(\frac{P(x \mid z) P(z)}{q(z \mid x)}\right) d z \\ &=\int_{z} q(z \mid x) \log \left(\frac{P(z)}{q(z \mid x)}\right) d z+\int_{z} q(z \mid x) \log P(x \mid z) d z \\ &=-K L(q(z \mid x) \| P(z))+\int_{z} q(z \mid x) \log P(x \mid z) d z \\ &=-K L(q(z \mid x) \| P(z))+E_{q(z \mid x)}[\log (P(x \mid z))] \end{aligned} \tag{12} $$
加入重参数化技巧实现训练过程

当训练完成时，生成器（解码器）可以依赖 $N(0,I)$ 上的采样生成近似 $X$ 的样本，也就得到了近似 $p$ 的生成器，以此近似描述 $p$ 的分布

实现

以瑞士卷(Swiss Roll) 数据作为目标分布 $p$

在瑞士卷数据集上实现 VAE，构造模仿瑞士卷分布的数据生成器

核心代码

class SimpleVAE(BaseVAE):
    def __init__(self, in_channels: int=2, latent_dim: int=2, hidden_dims: List = None) -> None:
        super(SimpleVAE, self).__init__()

        self.latent_dim = latent_dim

        if hidden_dims is None:
            hidden_dims = [128, 128]

        ori_in_channels = in_channels

        # Build Encoder
        modules = []
        for h_dim in hidden_dims:
            modules.append(
                nn.Sequential(
                    nn.Linear(in_channels, h_dim),
                    nn.LeakyReLU())
            )
            in_channels = h_dim

        self.encoder = nn.Sequential(*modules)
        self.fc_mu = nn.Linear(hidden_dims[-1], latent_dim)
        self.fc_var = nn.Linear(hidden_dims[-1], latent_dim)

        # Build Decoder
        modules = []
        de_hidden_dims = [hidden_dims[-1]] + hidden_dims

        self.decoder_input = nn.Linear(latent_dim, hidden_dims[-1])
        hidden_dims.reverse()

        for i in range(len(de_hidden_dims) - 1):
            modules.append(
                nn.Sequential(
                    nn.Linear(de_hidden_dims[i], de_hidden_dims[i + 1]),
                    nn.LeakyReLU())
            )

        self.decoder = nn.Sequential(*modules)
        self.final_layer = nn.Sequential(
                            nn.Linear(de_hidden_dims[-1], ori_in_channels))

    def encode(self, input: Tensor) -> List[Tensor]:
        """
        Encodes the input by passing through the encoder network
        and returns the latent codes.
        :param input: (Tensor) Input tensor to encoder [N x in_channels]
        :return: (Tensor) List of latent codes [N x latent_dim]
        """
        result = self.encoder(input)

        # Split the result into mu and var components
        # of the latent Gaussian distribution
        mu = self.fc_mu(result)
        log_var = self.fc_var(result)

        return [mu, log_var]

    def decode(self, z: Tensor) -> Tensor:
        """
        Maps the given latent codes onto the data space.
        
        :param z: (Tensor) [N x latent_dim]
        :return: (Tensor) [N x in_channels]
        """
        result = self.decoder_input(z)
        result = self.decoder(result)
        result = self.final_layer(result)
        return result

    def reparameterize(self, mu: Tensor, logvar: Tensor) -> Tensor:
        """
        Reparameterization trick to sample from N(mu, var) from N(0,1).
        :param mu: (Tensor) Mean of the latent Gaussian [N x latent_dim]
        :param logvar: (Tensor) Standard deviation of the latent Gaussian [N x latent_dim]
        :return: (Tensor) [N x latent_dim]
        """
        std = torch.exp(0.5 * logvar)
        eps = torch.randn_like(std)
        return eps * std + mu

    def forward(self, input: Tensor) -> List[Tensor]:
        mu, log_var = self.encode(input)
        z = self.reparameterize(mu, log_var)
        return  [self.decode(z), input, mu, log_var, z]

    def loss_function(self, forward_res, kld_weight) -> dict:
        """
        Computes the VAE loss function.
        KL(N(\mu, \sigma), N(0, 1)) = \log \frac{1}{\sigma} + \frac{\sigma^2 + \mu^2}{2} - \frac{1}{2}
        """
        recons = forward_res[0]
        input = forward_res[1]
        mu = forward_res[2]
        log_var = forward_res[3]

        recons_loss =F.mse_loss(recons, input)
        kld_loss = torch.mean(-0.5 * torch.sum(1 + log_var - mu ** 2 - log_var.exp(), dim = 1), dim = 0)

        loss = recons_loss + kld_weight * kld_loss
        return {'loss': loss, 'Reconstruction_Loss':recons_loss.detach(), 'KLD':kld_loss.detach()}