零空间 - 又见苍岚

本文最后更新于：2024年5月7日下午

在数学中，一个算子 $A$ 的零空间是方程 $Av = 0$ 的所有解 $v$ 的集合。

定义

在数学中，一个算子 $A$ 的零空间是方程 $Av = 0$ 的所有解 $v$ 的集合。它也叫做 $A$ 的核, 核空间。用集合建造符号表示为

$$
\operatorname{Null}(A)={\mathbf{v} \in V: A \mathbf{v}=\mathbf{0}}
$$

尽管术语核更加常用，术语零空间有时用在避免混淆于积分变换的情境中。应当避免把零空间混淆于零向量空间，它是只有零向量的空间。

例1

考虑函数 ${\displaystyle f}$ ：

$$
f(x, y) =x-y
$$

它是一个线性映射，因为:
$$
{\displaystyle f(x+\lambda z,y+\lambda w)=(x+\lambda z)-(y+\lambda w)=f(x,y)+\lambda f(z,w)}
$$

它的零空间由所有第一个和第二个坐标一致的向量组成，就是说描述了一条直线

$$ {\displaystyle \left\{(x,x):x\in \mathbb {R} \right\}} $$

例2

在一个线性空间中固定一个向量 ${\displaystyle y}$
定义线性映射 ${\displaystyle f}$ 为向量 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的点积
则 ${\displaystyle f}$ 的零空间由所有正交于 ${\displaystyle y}$ 的向量，即 ${\displaystyle y}$ 的正交补组成。

用途

计算特征向量

计算特征向量时，需要将已经计算好的特征值 $\lambda_{i}$ 带入：

$$
\left(\mathbf{A}-\lambda_{i} \mathbf{I}\right) \mathbf{v}=0
$$

由于矩阵 $\left(\mathbf{A}-\lambda_{i} \mathbf{I}\right)$ 的行列式为 0，因此关于 $\mathbf{v}$ 的线性方程组有无数组非零解
而这些非零解加上零向量构成了 $\left(\mathbf{A}-\lambda_{i} \mathbf{I}\right)$ 的零空间
从该零空间中找到支撑满空间的单位正交基既可以作为 $A$ 的特征向量了

计算特征值的几何重数

矩阵特征值存在对应的特征空间，也就是特征值对应的所有特征向量组成的空间(也就是$A-λI $的零空间)
该特征空间 (零空间) 的维度就是特征值的几何重数

用于寻找 $ A \mathbf{x}=\mathbf{b} $ 的所有解（完全解）

如果 $x_1$ 是这个方程的一个解，叫做特定解，那么方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。

算例

考虑矩阵

$$ {\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&-4&4\\2&-8&0\\8&4&-12\end{bmatrix}}\!\ } $$

要找到它的零空间，须找到所有向量 ${\displaystyle v}$ 使得 ${\displaystyle Av=0}$。首先把 ${\displaystyle A}$ 变换成简化行阶梯形矩阵：

$$ {\displaystyle E={\begin{bmatrix}1&0&-4/3\\0&1&-1/3\\0&0&0\end{bmatrix}}\!\ } $$

有 ${\displaystyle Av=0}$ 当且仅当 ${\displaystyle Ev=0}$。使用符号 ${\displaystyle v=[x,y,z]^{T}}$，后者方程变为

$$ {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&-4/3\\0&1&-1/3\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}x-4z/3\\y-z/3\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}x=4z/3\\y=z/3\\0=0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}x=4s/3\\y=s/3\\z=s\end{bmatrix}}} $$