正多边形平铺平面

本文最后更新于：2024年5月7日下午

使用正多边形完美平铺平面时，哪些正多边形可以完成？

平铺问题

使用正多边形完美平铺平面，理论上有哪些多边形可以完成。

结论

正n边形中，只有正三角形，正方形，正6边形能密铺平面，其余正n边形不能做到。

证明

考虑一个正 $n$ 边形，其内角大小为：
$$
\frac{n-2}{n} \times 180
$$
其若能密铺平面，其内角度数某整数倍为360度，即：
$$
\frac{n-2}{n} \times 180 |360
$$
整理得：
$$
n-2|2n
$$
继续简化：
$$
n-2 \mid 2 n-2(n-2)
$$

$$
n-2|4
$$

即 $n-2$ 被 4 整除，因此：
$$
n-2 = 1, 2, 4
$$

$$
n=3,4,6
$$