正多边形平铺平面

本文最后更新于:2022年5月5日 晚上

使用正多边形完美平铺平面时,哪些正多边形可以完成?

平铺问题

使用正多边形完美平铺平面,理论上有哪些多边形可以完成。

结论

正n边形中,只有正三角形,正方形,正6边形能密铺平面,其余正n边形不能做到。

证明

考虑一个正 $n$ 边形,其内角大小为:
$$
\frac{n-2}{n} \times 180
$$
其若能密铺平面,其内角度数某整数倍为360度,即:
$$
\frac{n-2}{n} \times 180 |360
$$
整理得:
$$
n-2|2n
$$
继续简化:
$$
n-2 \mid 2 n-2(n-2)
$$

$$
n-2|4
$$

即 $n-2$ 被 4 整除,因此:
$$
n-2 = 1, 2, 4
$$

$$
n=3,4,6
$$

参考资料