本文最后更新于：2023年12月5日 下午
本文记录《机器视觉》 第三章第三节 —— 投影，一些学习笔记和个人理解，其中核心内容为二值图的投影。
- 根据 转动惯量 节的结论，我们只需要使用一阶矩和二阶矩，就可以计算出：物体的位置和朝向。为了计算物体的一阶矩和二阶矩，我们并不需要知道原始图像，因为，原始图像的投影已经提供了充足的信息。这是一个有趣的结论，因为，图像投影的形式更加紧凑，并且，可以用来设计快速算法。
- 考虑一条经过原点并且与 $x$ 轴之间的夹角为 $\theta$ 的直线。现在，我们构建一条新的直线，这条线和原来的直线垂直，并且和原来的直线相交于：和原点之间距离为 $t$ 的一点。我们用 $s$ 来表示：从两条线的交点开始、沿着新的直线所“走过”的路程。沿着新的直线对 $b(x,y)$ 进行积分，就给出了一个投影值，也就是说：
$$
p_{\theta}(t)=\int_{L} b(t \cos \theta-s \sin \theta, t \sin \theta+s \cos \theta) d s
$$
- 这个积分是在直线 $L$ 所在的图像“区域”上进行的。
- 例如竖直方向的投影（即：$\theta = 0$) 为：
$$
v(x)=\int_{L} b(x, y) d y
$$
- 水平方向的投影(即：$0=π/2$)为：
$$
h(y)=\int_{L} b(x, y) d x
$$
- 由于：
$$
A=\iint_{I} b(x, y) d x d y
$$
- 因此我们有：
$$
A=\int v(x) d x=\int h(y) d y
$$
- 此外还有：
$$
\bar{x} A=\iint_{I} x b(x, y) d x d y=\int x v(x) d x
$$
$$
\bar{y} A=\iint_{I} y b(x, y) d x d y=\int y h(y) d y
$$
- 因此，投影的一阶矩等于原始图像的一阶矩。
- 为了计算朝向，我们还需要计算图像的二阶矩。通过投影，我们可以很容易地计算出：这些二阶矩中的其中两个，也就是说：
$$
\iint_{I} x^{2} b(x, y) d x d y=\int x^{2} v(x) d x
$$
$$
\iint_{I} y^{2} b(x, y) d x d y=\int y^{2} h(y) d y
$$
- 但是，只使用水平投影和竖直投影，我们无法求出：对$xy b(x,y)$的积分。我们可以添加对角投影(即：$\theta=π/4$)来解决这个问题：
$$
d(t)=\int b\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(t-s), \frac{1}{\sqrt{2}}(t+s)\right) d s
$$
- 根据 $x=t\cos\theta-s\sin\theta,y=t\sin\theta+s\cos\theta$，有：
$$
t=(x+y) / \sqrt{2} ， s=(y-x) / \sqrt{2}
$$
- 因此有：
$$
\iint_{I} \frac{1}{2}(x+y)^{2} b(x, y) d x d y=\iint_{I} t^{2} b\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(t-s), \frac{1}{\sqrt{2}}(t+s)\right) d s d t
$$
- 进一步可以得到：
$$
\iint_{I} \frac{1}{2}(x+y)^{2} b(x, y) d x d y=\int t^{2} d(t) d t
$$
- 由于：
$$
\iint_{I} \frac{1}{2}(x+y)^{2} b(x, y) d x d y=\iint_{I}\left(\frac{1}{2} x^{2}+x y+\frac{1}{2} y^{2}\right) b(x, y) d x d y
$$
- 因此可以得到：
$$
\iint_{I} x y b(x, y) d x d y=\int t^{2} d(t) d t-\frac{1}{2} \int x^{2} v(x) d x-\frac{1}{2} \int y^{2} h(y) d y
$$
- 因此，通过使用“水平”、“竖直”和“对角线”三个方向的投影，我们可以计算出一阶矩和二阶矩，并且，最终确定图像区域的位置和朝向。
参考资料
- 伯特霍尔德・霍恩著 BERTHOLDKLAUSPAULHORN. 机器视觉[M]. 中国青年出版社, 2014.
文章链接：
https://www.zywvvd.com/notes/study/image-processing/robot-vision/chapter-3/projection/projection/
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