韦达定理

本文最后更新于：2024年5月7日下午

韦达定理是一个描述一元方程解和系数关系的定理，本文记录相关内容。

韦达定理 (Vieta’s formulas)，是给出多项式方程的根与系数的关系。该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达发现，并因此得名。
考虑一元 $n$ 次实/复系数多项式：
$$
P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}
$$

其中 $a_n \neq 0$
令 $P$ 的 $n$ 个根为 $ x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} $，则根与系数之间满足关系式：

$$
\left{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n-1}+x_{n}=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}} \ \left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+\cdots+x_{1} x_{n}\right)+\left(x_{2} x_{3}+x_{2} x_{4}+\cdots+x_{2} x_{n}\right)+\cdots+x_{n-1} x_{n}=\frac{a_{n-2}}{a_{n}} \ \vdots \ x_{1} x_{2} \ldots x_{n}=(-1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}}\end{array}\right.
$$

也可描述为：对任何 $ \mathrm{k}=1,2, \ldots, \mathrm{n} $ ，系数比 $ \frac{a_{n-k}}{a_{n}} $ 是所有任取 k 个根的乘积的 $ (-1)^{k} $ 倍，即：
$$
\sum_{1 \leq i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k} \leq n} x_{i_{1}} x_{i_{2}} \cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k} \frac{a_{n-k}}{a_{n}}
$$

其中 $ i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k} $ 是要让所有的根的组合都恰好出现一次。
韦达定理的实用之处在于，它提供一个不用直接把根解出來的方法來计算根之间的关系。

证明

因为 $ x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} $ 是一元 $ \mathrm{n} $ 次多项式 $ M(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0} $ 的 $ \mathrm{n} $ 个根。于是有
$$
a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right)
$$
根据乘法原理展开右式，比较等号两边系数即可
$$
\left{\begin{array}{l}a_{n-1}=-a_{n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n-1}+x_{n}\right) \ a_{n-2}=a_{n}\left(\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+\cdots+x_{1} x_{n}\right)+\left(x_{2} x_{3}+x_{2} x_{4}+\cdots+x_{2} x_{n}\right)+\cdots+x_{n-1} x_{n}\right) \ \quad \vdots \ a_{0}=(-1)^{n} a_{n} x_{1} x_{2} \ldots x_{n}\end{array}\right.
$$