矩阵的迹

本文最后更新于:2022年8月20日 下午

矩阵的迹为方阵主对角线的和,本文记录相关内容。

定义

在线性代数中,方阵$A(n \times n)$的迹定义为对角线元素的和(也等于特征值的和),用符号 $tr()$ 表示。即:
$$
\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{n n}
$$

性质

  • 根据定义可以得出迹的一些特性

线性性质

$$
\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}\left(A^{T}\right)
$$

$$
\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)
$$

$$
\operatorname{tr}(c A)=\operatorname{ctr}(A)
$$

乘积性质

$$
\operatorname{tr}\left(X^{T} Y\right)=\operatorname{tr}\left(X Y{T}\right)=\operatorname{tr}\left(Y{T} X\right)=\operatorname{tr}\left(Y X^{T}\right)=\sum_{i, j} X_{i j} Y_{i j}
$$

$$
\operatorname{tr}\left(P^{-1} A P\right)=\operatorname{tr}\left(P^{-1}(A P)\right)=\operatorname{tr}\left((A P) P^{-1}\right)=\operatorname{tr}\left(A\left(P P^{-1}\right)\right)=\operatorname{tr}(A)
$$

与特征值的关系

  • 迹的优秀特性在于迹等于方阵特征值 $\lambda$的和:

$$
tr(A) =\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i }
$$

证明

  • 考虑 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征方程:

$$
\operatorname{det}(\lambda I-A)=\left|\begin{array}{cccc}\lambda-a_{11} & -a_{12} & \ldots & -a_{1 n} \ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \ldots & -a_{2 n} \ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \ -a_{n 1} & -a_{n 2} & \ldots & \lambda-a_{n n}\end{array}\right|
$$

  • 根据行列式定义:

$$
D=\sum(-1)^{k} a_{1 k_{1}} a_{2 k_{2}} \cdots a_{n k_{n}}
$$

  • 将行列式展开成关于 $\lambda $ 的一元 $n$ 次方程,该方程中的系数只能是对角线元素的乘积,不然错位至少错两项,至多能生成 $\lambda^{n-2}$ 的系数
    $$
    \left(\lambda-a_{11}\right)\left(\lambda-a_{22}\right) \ldots\left(\lambda-a_{n n}\right)
    $$

  • 根据 韦达定理 ,$ -\left(a_{11}+a_{12}+\ldots+a_{n n}\right) $ 就是 $ \lambda^{n-1} $ 的系数

  • 又因为代数基本定理,$ det(λI−A)$ 有 $n$ 个根,它们就是 $n$ 个特征值,也就是说
    $$
    \operatorname{det}(\lambda I-A)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right) \ldots\left(\lambda-\lambda_{n}\right)
    $$

  • 展开后 $ \lambda^{n-1} $ 这一项的系数又恰好是 $ -\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{n}\right) $

  • 所以 $ \operatorname{tr}(A)=\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} $

相似矩阵的不变量

  • 相似矩阵定义为:$ A , B $ 都是 $ n $ 阶矩阵,若存在可逆矩阵 $ \mathrm{P} $ ,使 $ P^{-1} \mathrm{~A} P=\mathrm{B} $ ,则 $ \mathrm{A} $ 相似于 $ \mathrm{B} $ ,记为 $ \mathrm{A} \sim \mathrm{B} $ 。
    • 迹是相似变换的不变量;
    • 特征值是相似变换的不变量;
    • 每个矩阵都相似与它的Jordan标准型;
    • 每个Jordan标准型(型如Jordan标准型的方阵)的迹等于其特征值的和。

参考资料


矩阵的迹
https://www.zywvvd.com/notes/study/linear-algebra/trace-diagonal/trace-diagonal/
作者
Yiwei Zhang
发布于
2022年8月18日
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