矩阵的迹 - 又见苍岚

本文最后更新于：2024年5月7日下午

矩阵的迹为方阵主对角线的和，本文记录相关内容。

定义

在线性代数中，方阵$A(n \times n)$的迹定义为对角线元素的和（也等于特征值的和），用符号 $tr()$ 表示。即：
$$
\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{n n}
$$

性质

根据定义可以得出迹的一些特性

线性性质

$$
\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}\left(A^{T}\right)
$$

$$
\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)
$$

$$
\operatorname{tr}(c A)=\operatorname{ctr}(A)
$$

乘积性质

$$
\operatorname{tr}\left(X^{T} Y\right)=\operatorname{tr}\left(X Y^{{T}\right)=\operatorname{tr}\left(Y}{T} X\right)=\operatorname{tr}\left(Y X^{T}\right)=\sum_{i, j} X_{i j} Y_{i j}
$$

$$
\operatorname{tr}\left(P^{-1} A P\right)=\operatorname{tr}\left(P^{-1}(A P)\right)=\operatorname{tr}\left((A P) P^{-1}\right)=\operatorname{tr}\left(A\left(P P^{-1}\right)\right)=\operatorname{tr}(A)
$$

与特征值的关系

迹的优秀特性在于迹等于方阵特征值 $\lambda$的和：

$$
tr(A) =\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i }
$$

证明

考虑 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征方程：

$$
\operatorname{det}(\lambda I-A)=\left|\begin{array}{cccc}\lambda-a_{11} & -a_{12} & \ldots & -a_{1 n} \ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \ldots & -a_{2 n} \ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \ -a_{n 1} & -a_{n 2} & \ldots & \lambda-a_{n n}\end{array}\right|
$$

根据行列式定义：

$$
D=\sum(-1)^{k} a_{1 k_{1}} a_{2 k_{2}} \cdots a_{n k_{n}}
$$

将行列式展开成关于 $\lambda $ 的一元 $n$ 次方程，该方程中的系数只能是对角线元素的乘积，不然错位至少错两项，至多能生成 $\lambda^{n-2}$ 的系数
$$
\left(\lambda-a_{11}\right)\left(\lambda-a_{22}\right) \ldots\left(\lambda-a_{n n}\right)
$$
根据韦达定理，$ -\left(a_{11}+a_{12}+\ldots+a_{n n}\right) $ 就是 $ \lambda^{n-1} $ 的系数
又因为代数基本定理，$ det(λI−A)$ 有 $n$ 个根，它们就是 $n$ 个特征值，也就是说
$$
\operatorname{det}(\lambda I-A)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right) \ldots\left(\lambda-\lambda_{n}\right)
$$
展开后 $ \lambda^{n-1} $ 这一项的系数又恰好是 $ -\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{n}\right) $
所以 $ \operatorname{tr}(A)=\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} $

相似矩阵的不变量

相似矩阵定义为：$ A ， B $ 都是 $ n $ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $ \mathrm{P} $ ，使 $ P^{-1} \mathrm{~A} P=\mathrm{B} $ ，则 $ \mathrm{A} $ 相似于 $ \mathrm{B} $ ，记为 $ \mathrm{A} \sim \mathrm{B} $ 。
- 迹是相似变换的不变量；
- 特征值是相似变换的不变量；
- 每个矩阵都相似与它的Jordan标准型；
- 每个Jordan标准型(型如Jordan标准型的方阵)的迹等于其特征值的和。