概率论基础 - 13 - 泊松分布(Poisson分布)

本文最后更新于:2021年12月11日 上午

本文记录泊松分布。

泊松分布

  • 假设已知事件在单位时间 (或者单位面积) 内发生的平均次数为 $\lambda$, 则泊松分布描述了:事件在单位时间 (或者单位面积) 内发生的具体次数为 $k$ 的概率
  • 概率质量函数: $ p(X=k | \lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k !} $.
  • 期望: $ \mathbb{E}[X]=\lambda $
  • 方差: $ \operatorname{Var}[X]=\lambda$

泊松分布的来源

  • 泊松分布单位时间发生的次数为$X$,平均次数为$\lambda$
  • 设所观察的这段时间为[0,1),取一个很大的自然数n,把时间段[0,1)分为等长的n段:

$$
l_{1}=\left[0, \frac{1}{n}\right], l_{2}=\left[\frac{1}{n}, \frac{2}{n}\right], \ldots, l_{i}=\left[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\right], \ldots, l_{n}=\left[\frac{n-1}{n}, 1\right]
$$

  • 我们做如下两个假定:
  1. 在每段 $ l_{i} $ 内, 恰发生一个事故的概率,近似的与这段时间的长 $ \frac{1}{n} $ 成正比,可设为 $ \frac{\lambda}{n} $ 。当n很大时, $ \frac{1}{n} $ 很小时,在 $ l_{i} $ 这么短暂的一段时间内,要发生两次或者更多次事故是不可能的。因此在 $ l_{i} $ 这段时间内不发生事故的概率为 $ 1-\frac{\lambda}{n} $ 。
  2. $ l_{i}, \ldots, l_{n} $ 各段是否发生事故是独立的
    把在 $ [0,1) $ 时段内发生的事故数 X视作在n个划分之后的小时段 $ l_{i}, \ldots, l_{n} $ 内有事故的时段数,则按照上述两个假定, $ X $ 应服 从二项分布 $ B\left(n, \frac{\lambda}{n}\right) $ 。于是,我们有

$$
P(X=i)=\left(\begin{array}{c}
n \
i
\end{array}\right)\left(\frac{\lambda}{n}\right){i}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right){n-i}
$$

  • 注意到当 $ n \rightarrow \infty $ 取极限时,我们有

$$
\frac{\left(\begin{array}{l}
n \
i
\end{array}\right)}{n^{i}} \rightarrow \frac{1}{i !},\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n} \rightarrow e^{-\lambda}
$$

  • 因此

$$
\begin{aligned}
P(X=i) &=\left(\begin{array}{c}
n \
i
\end{array}\right)\left(\frac{\lambda}{n}\right){i}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right){n-i} \
&=\frac{e^{-\lambda} \lambda^{i}}{i !}
\end{aligned}
$$

从上述推导可以看出:泊松分布可作为二项分布的极限而得到。一般的说,若 $ X \sim B(n, p) $,其中n很大, p很小,因而 $ n p=\lambda $ 不太大时, X的分布接近于泊松分布 $ P(\lambda) $ 。这个事实有时可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算。

参考资料