概率论基础 - 12 - 拉普拉斯分布(Laplace分布)

本文最后更新于:2022年7月4日 上午

本文记录拉普拉斯分布。

拉普拉斯分布

  • 概率密度函数:

$$
p(x | \mu, \gamma)=\frac{1}{2 \gamma} \exp \left(-\frac{|x-\mu|}{\gamma}\right)
$$

拉普拉斯分布的密度函数,可以看作是两个指数分布函数的概率密度“背靠背”拼接在一起。

  • 期望:

$$
\quad \mathbb{E}[X]=\mu
$$

  • 方差:

$$
\operatorname{Var}[X]=2 \gamma^{2}
$$

拉普拉斯分布与正态分布

拉普拉斯分布的概率密度与正态分布看起来很像,但是会比正态分布更尖(集中)一些

标准拉普拉斯分布的0.99分位点是3.91,而标准正态分布是2.32,这说明,服从拉普拉斯分布的随机变量,出现极端大的值的概率,要远远大于正态分布。

拉普拉斯分布的一些性质

  • 如果 $ X \sim \operatorname{Exp}(\lambda), Y \sim \operatorname{Exp}(\mu) $, 那么 $ \lambda X-\mu Y \sim \operatorname{Laplace}(0,1) $
  • 如果 $ X, Y \sim U(0,1) $, 那么 $ \ln \frac{X}{Y} \sim \operatorname{Laplace}(0,1) $
  • 如果 $ X_{i} \sim \operatorname{Laplace}(\mu, b) $, 那么 $ \frac{2}{b} \sum_{i=1}^{n}\left|X_{i}-\mu\right| \sim \chi^{2}(2 n) $
  • 如果 $ X, Y \sim \operatorname{Laplace}(\mu, b) $, 那么 $ \frac{|X-\mu|}{|Y-\mu|} \sim \mathrm{F}(2,2) $

拉普拉斯分布的参数估计

  • 拉普拉斯分布的样本中位数即为参数$\mu$的极大似然估计

$$ \quad \hat{b}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left|x_{i}-\hat{\mu}\right| $$

参考资料


概率论基础 - 12 - 拉普拉斯分布(Laplace分布)
https://www.zywvvd.com/notes/study/probability/distributions/laplace-dis/laplace-dis/
作者
Yiwei Zhang
发布于
2021年5月1日
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