概率论基础 - 12 - 拉普拉斯分布（Laplace分布）

本文记录拉普拉斯分布。

拉普拉斯分布

• 概率密度函数：

$$
p(x | \mu, \gamma)=\frac{1}{2 \gamma} \exp \left(-\frac{|x-\mu|}{\gamma}\right)
$$

拉普拉斯分布的密度函数，可以看作是两个指数分布函数的概率密度“背靠背”拼接在一起。

• 期望：

$$
\quad \mathbb{E}[X]=\mu
$$

• 方差:

$$
\operatorname{Var}[X]=2 \gamma^{2}
$$

拉普拉斯分布与正态分布

拉普拉斯分布的概率密度与正态分布看起来很像，但是会比正态分布更尖（集中）一些

标准拉普拉斯分布的0.99分位点是3.91，而标准正态分布是2.32，这说明，服从拉普拉斯分布的随机变量，出现极端大的值的概率，要远远大于正态分布。

拉普拉斯分布的一些性质

• 如果 $ X \sim \operatorname{Exp}(\lambda), Y \sim \operatorname{Exp}(\mu) $, 那么 $ \lambda X-\mu Y \sim \operatorname{Laplace}(0,1) $
• 如果 $ X, Y \sim U(0,1) $, 那么 $ \ln \frac{X}{Y} \sim \operatorname{Laplace}(0,1) $
• 如果 $ X_{i} \sim \operatorname{Laplace}(\mu, b) $, 那么 $ \frac{2}{b} \sum_{i=1}^{n}\left|X_{i}-\mu\right| \sim \chi^{2}(2 n) $
• 如果 $ X, Y \sim \operatorname{Laplace}(\mu, b) $, 那么 $ \frac{|X-\mu|}{|Y-\mu|} \sim \mathrm{F}(2,2) $

拉普拉斯分布的参数估计

• 拉普拉斯分布的样本中位数即为参数$\mu$的极大似然估计

$$ \quad \hat{b}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left|x_{i}-\hat{\mu}\right| $$

参考资料

• http://www.huaxiaozhuan.com/数学基础/chapters/2_probability.html
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/156234503

文章链接：
https://www.zywvvd.com/notes/study/probability/distributions/laplace-dis/laplace-dis/