概率论基础 - 17 - 卡方分布

卡方分布 是概率论与统计学中常用的一种概率分布，k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布，本文介绍相关内容。。

简介

卡方分布（英语：chi-square distribution, χ²-distribution，或写作χ²分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是统计推断中应用最为广泛的概率分布之一，例如假设检验和置信区间的计算。

由卡方分布延伸出来皮尔逊卡方检验常用于：

1. 样本某性质的比例分布与总体理论分布的拟合优度（例如某行政机关男女比是否符合该机关所在城镇的男女比）；
2. 同一总体的两个随机变量是否独立（例如人的身高与交通违规的关联性）；
3. 二或多个总体同一属性的同素性检验（意大利面店和寿司店的营业额有没有差距）。

定义

若 $ k $ 个随机变量 $ Z_{1} 、 \ldots \ldots 、 Z_{k} $ 相互独立且符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量Z的平方和
$$
X=\sum_{i=1}^{k} Z_{i}^{2}
$$
被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作
$$
\begin{aligned} X & \sim \chi^{2}(k) \ X & \sim \chi_{k}^{2}\end{aligned}
$$

性质

概率密度函数

累计分布函数

性质参数

参数	描述
自由度	$ k \in \mathbb{N}^{\star} $
值域	$ x \in[0 ;+\infty) $
概率密度函数	$\frac{1}{2^{\frac{k}{2}} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} x^{\frac{k}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}$
累计分布函数	$\frac{1}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} \gamma\left(\frac{k}{2}, \frac{x}{2}\right)$
期望	$k$
中位数	$\approx k\left(1-\frac{2}{9 k}\right)^{3}$
众数	$\max {k-2,0}$
方差	$2k$
偏度	$\sqrt{8 / k}$
峰度	$12 / k$
熵	$\frac{k}{2}+\ln (2 \Gamma(k / 2)) +(1-k / 2) \psi(k / 2)$
矩生成函数	$(1-2 t)^{-k / 2}, 2 t<1$
特征函数	$(1-2 i t)^{-k / 2}$

可加性

由定义可得，独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地，若 $ X_{1}, X_{2}, \ldots X_{n} $ 分别独立服从自由度为 $ k_{1}, k_{2}, \ldots k_{n} $ 的卡方分布，那么它们的和 $ \sum_{i=1}^{n} X_{i} $ 服从自由度为 $ \sum_{i=1}^{n} k_{i} $ 的卡方分布。

卡方分布表

χ2越大，p-value越小，则可信度越高。通常用p=0.05作为阈值，即95%的可信度。

自由度k \ P value （概率）	0.95	0.90	0.80	0.70	0.50	0.30	0.20	0.10	0.05	0.01	0.001
1	0.004	0.02	0.06	0.15	0.46	1.07	1.64	2.71	3.84	6.64	10.83
2	0.10	0.21	0.45	0.71	1.39	2.41	3.22	4.60	5.99	9.21	13.82
3	0.35	0.58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7.82	11.34	16.27
4	0.71	1.06	1.65	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07	18.48	24.32
8	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
10	3.94	4.86	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59

参考资料

• https://zh.wikipedia.org/zh-cn/卡方分佈

文章链接：
https://www.zywvvd.com/notes/study/probability/distributions/chi-square-dis/chi-square-dis/