求导法则

导数表示函数数值随着自变量的变化率，本文记录相关计算规则。

基本求导公式

对于在 $x$ 附近连续的函数 $f(x)$
$$
\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)
$$

则 $ \frac{\Delta y}{\Delta x} $ 在 $x$ 趋近于 0 时为导数：
$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}(x)
$$

求导四则运算法则与性质

1. 若函数 $u(x), v(x) $ 可导，则：

   $$ \begin{array}{c}(u(x) \pm v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) \pm v^{\prime}(x), \\ (u(x) \bullet v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) \bullet v(x)+u(x) \bullet v^{\prime}(x), \\ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{u^{\prime}(x) v(x)-v^{\prime}(x) u(x)}{v^{2}(x)} .\end{array} $$

2. 加减乘都可以推广到n个函数的情况，例如乘法：

   $$ \left(u_{1} \ldots u_{n}\right)^{\prime}=u_{1}^{\prime}\left(u_{2} \ldots u_{n}\right)+u_{1} u_{2}^{\prime}\left(u_{3} \ldots u_{n}\right)+\ldots+\left(u_{1} \ldots u_{n-1}\right) u_{n}^{\prime} $$

3. 数乘性

常数可任意进出导数符号。

$$
(c u(x))^{\prime}=c u^{\prime}(x)
$$

4. 线性性

求导运算也是满足线性性的，即可加性、数乘性，对于n个函数的情况 :

$$
\left[\sum_{i=1}^{n} C_{i} f_{i}(X)\right]^{\prime}=\left[c_{1} f_{1}+\cdots+c_{n} f_{n}\right]^{\prime}=c_{1} f_{1}^{\prime}+\cdots+c_{n} f_{n}^{\prime}
$$

反函数求导法则

若函数 $ x=\varphi(x) $ 严格单调且可导，则其反函数 $ y=f(x) $ 的导数存在，且有：

$$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)} $$

复合函数求导法则

若 $ u=g(x) $ 在点x可导 $ y=f(u) $ 在相应的点u也可导，则其复合函数 $ y=f(g(x)) $ 在点x可导且

$$ y^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) \bullet g^{\prime}(x) $$

参考资料

• https://zhidao.baidu.com/question/756514547445602044.html

文章链接：
https://www.zywvvd.com/notes/study/math/derivative/derivative/