离散分布重参数化 —— Gumbel-Softmax Trick 和 Gumbel分布

本文最后更新于：2024年3月29日下午

重参数化也可以用在离散分布采样中，由于对我来说相比于连续分布的重参数技巧，离散重参数难理解很多，本文单独介绍离散部分的重参数化。

简介

这篇文章从直观感觉讲起，先讲Gumbel-Softmax Trick用在哪里及如何运用，再编程感受Gumbel分布的效果，最后讨论数学证明。

问题来源

通常在强化学习中，如果动作空间是离散的，比如上、下、左、右四个动作，通常的做法是网络输出一个四维的one-hot向量(不考虑空动作)，分别代表四个动作。比如 [1,0,0,0] 代表上，[0,1,0,0] 代表下等等。而具体取哪个动作呢，就根据输出的每个维度的大小，选择值最大的作为输出动作,即 $arg \max (v) $ .

例如网络输出的四维向量为 $v=[−20,10,9.6,6.2]$，第二个维度取到最大值 10，那么输出的动作就是 [0,1,0,0]，也就是说，这和多类别的分类任务是一个道理。但是这种取法有个问题是不能计算梯度，也就不能更新网络。通常的做法是加softmax函数，把向量归一化，这样既能计算梯度，同时值的大小还能表示概率的含义。softmax函数定义如下：

$$ \sigma\left(z_{i}\right)=\frac{e^{z_{i}}}{\sum_{j=1}^{K} e^{z_{j}}} $$

那么将 v=[−20,10,9.6,6.2] 通过softmax函数后有 $σ(v)=[0,0.591,0.396,0.013]$，这样做不会改变动作或者说类别的选取，同时 softmax 倾向于让最大值的概率显著大于其他值，比如这里10和9.6经过 softmax 放缩之后变成了 0.591 和 0.396，6.2 对应的概率更是变成了 0.013，这有利于把网络训成一个 one-hot 输出的形式，这种方式在分类问题中是常用方法。

但是这么做还有一个问题，这个表示概率的向量 $σ(v)=[0,0.591,0.396,0.013]$ 并没有真正显示出概率的含义，因为一旦某个值最大，就选择相应的动作或者分类。比如 $σ(v)=[0,0.591,0.396,0.013]$ 和 $σ(v)=[0,0.9,0.1,0]$ 在类别选取的结果看来没有任何差别，都是选择第二个类别，但是从概率意义上讲差别是巨大的。所以需要一种方法不仅选出动作，而且遵从概率的含义。

很直接的方法是依概率分布采样就完事了，比如直接用np.random.choice函数依照概率生成样本值，这样概率就有意义了。这样做确实可以，但是又有一个问题冒了出来：这种方式怎么计算梯度？不能计算梯度怎么用 BP 的方式更新网络？

这时重参数(re-parameterization)技巧解决了这个问题，这里有详尽的解释，不过比较晦涩。简单来说重参数技巧的一个用处是把采样的步骤移出计算图，这样整个图就可以计算梯度BP更新了。之前我一直在想分类任务直接softmax之后BP更新不就完事了吗，为什么非得采样。后来看了VAE和GAN之后明白，还有很多需要采样训练的任务。这里举简单的VAE(变分自编码器)的例子说明需要采样训练的任务以及重参数技巧，详细内容来自视频和博客。

Re-parameterization Trick

最原始的自编码器通常长这样：

左右两边是端到端的出入输出网络，中间的绿色是提取的特征向量，这是一种直接从图片提取特征的方式。
而 VAE 长这样:

VAE的想法是不直接用网络去提取特征向量，而是提取这张图像的分布特征，也就把绿色的特征向量替换为分布的参数向量，比如说均值和标准差。然后需要decode图像的时候，就从encode出来的分布中采样得到特征向量样本，用这个样本去重建图像，这时怎么计算梯度的问题就出现了。

重参数技巧可以解决这个问题，它长下面这样:

假设图中的 $x$ 和 $ϕ$ 表示 VAE 中的均值和标准差向量，它们是确定性的节点。而需要输出的样本 $z$ 是带有随机性的节点，重参数就是把带有随机性的 $z$ 变成确定性的节点，同时随机性用另一个输入节点 $ϵ$ 代替。例如，这里用正态分布采样，原本从均值为 $x$ 和标准差为 $ϕ$ 的正态分布 $N(x,ϕ2)$ 中采样得到 $z$。将其转化成从标准正态分布 $N(0,1)$中采样得到 $ϵ$,再计算得到 $z=x+ϵ⋅ϕ$ 。这样一来，采样的过程移出了计算图，整张计算图就可以计算梯度进行更新了，而新加的 $ϵ$ 的输入分支不做更新，只当成一个没有权重变化的输入。

到这里，需要采样训练的任务实例以及重参数技巧基本有个概念了。

Gumbel-Max trick

VAE 的例子是一个连续分布(正态分布)的重参数，离散分布的情况也一样，首先需要可以采样，使得离散的概率分布有意义而不是只取概率最大的值，其次需要可以计算梯度。那么怎么做到的，具体操作如下：

对于 $n$ 维概率向量 $π$ ,对 $π$ 对应的离散随机变量 $x_π$ 添加 $Gumbel$ 噪声，再取样:
$$
x_{\pi}=\arg \max \left(\log \left(\pi_{i}\right)+G_{i}\right)
$$
其中，$G_i$ 是独立同分布的标准 Gumbel 分布的随机变量，标准 Gumbel 分布的 CDF 为 $F(x)=e^{-e{-x}} $。

这就是 Gumbel-Max trick。

Gumbel-Softmax Trick

可以看到 Gumbel-Max trick 中间有一个 argmax 操作，这是不可导的，所以用 softmax 函数代替，这就是 Gumbel-Softmax Trick 而 $G_i$ 可以通过Gumbel分布求逆从均匀分布生成，即:
$$
G_{i}=-\log \left(-\log \left(U_{i}\right)\right), U_{i} \sim U(0,1)
$$

具体实践

对于网络输出的一个 $n$ 维向量 $v$,生成 $n$ 个服从均匀分布 $U(0,1)$ 的独立样本 $ϵ_1,…,ϵ_n$
通过 $G_i=−log(−log(ϵ_i))$ 计算得到 $G_i$
对应相加得到新的值向量 $v′=[v_1+G_1,v_2+G_2,…,v_n+G_n]$
通过 softmax 函数
$$ \sigma_{\tau}\left(v_{i}^{\prime}\right)=\frac{e^{v_{i}^{\prime} / \tau}}{\sum_{j=1}^{n} e^{v_{j}^{\prime} / \tau}} $$

计算概率大小得到最终的类别。其中 $τ$ 是温度参数。

直观上感觉，对于强化学习来说，在选择动作之前加一个扰动，相当于增加探索度，感觉上是合理的。对于深度学习的任务来说，添加随机性去模拟分布的样本生成，也是合情合理的。

Gumbel分布采样效果

为什么使用Gumbel分布生成随机数，就能模拟离散概率分布的样本呢？这部分使用代码模拟来感受它的优越性。这部分例子和代码来自这里。

Gumbel分布的概率密度函数:

$$ p(x)=\frac{1}{\beta} e^{-z-e^{-z}} $$

其中 $ z=\frac{x-\mu}{\beta} $ 。

极值分布

Gumbel分布是一类极值分布，那么它表示什么含义呢？

这里举一个类似的喝水的例子。

比如你每天都会喝很多次水(比如100次)，每次喝水的量也不一样。假设每次喝水的量服从正态分布 $N(μ,σ_2)$ (其实也有点不合理，毕竟喝水的多少不能取为负值，不过无伤大雅能理解就好，假设均值为5)，那么每天100次喝水里总会有一个最大值，这个最大值服从的分布就是Gumbel分布。实际上，只要是指数族分布，它的极值分布都服从Gumbel分布。那么上面这个例子的分布长什么样子呢，作图有：

from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
mean_hunger = 5
samples_per_day = 100
n_days = 10000
samples = np.random.normal(loc=mean_hunger, size=(n_days, samples_per_day))
daily_maxes = np.max(samples, axis=1)

def gumbel_pdf(prob,loc,scale):
    z = (prob-loc)/scale
    return np.exp(-z-np.exp(-z))/scale

def plot_maxes(daily_maxes):
    probs,hungers,_=plt.hist(daily_maxes,density=True,bins=100)
    plt.xlabel('Volume')
    plt.ylabel('Probability of Volume being daily maximum')
    (loc,scale),_=curve_fit(gumbel_pdf,hungers[:-1],probs)
    #curve_fit用于曲线拟合
    #接受需要拟合的函数（函数的第一个参数是输入，后面的是要拟合的函数的参数）、输入数据、输出数据
    #返回的是函数需要拟合的参数
    # https://blog.csdn.net/guduruyu/article/details/70313176
    plt.plot(hungers,gumbel_pdf(hungers,loc,scale))
    
plt.figure()
plot_maxes(daily_maxes)
plt.show()
pass

那么gumbel分布在离散分布的采样中效果如何呢？可以作图比较一下。先定义一个多项分布，作出真实的概率密度图。再通过采样的方式比较各种方法的效果。

如下代码定义了一个7类别的多项分布，其真实的密度函数如下图

from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


n_cats = 7
cats = np.arange(n_cats)
probs = np.random.randint(low=1, high=20, size=n_cats)
probs = probs / sum(probs)
logits = np.log(probs)
def plot_probs():
    plt.bar(cats, probs)
    plt.xlabel("Category")
    plt.ylabel("Probability")


n_samples = 1000
def plot_estimated_probs(samples,ylabel=''):
    n_cats = np.max(samples)+1
    estd_probs,_,_ = plt.hist(samples,bins=np.arange(n_cats+1),align='left',edgecolor='white',density=True)
    plt.xlabel('Category')
    plt.ylabel(ylabel+'Estimated probability')
    return estd_probs

def print_probs(probs):
    print(probs.tolist())

samples = np.random.choice(cats,p=probs,size=n_samples) 

def sample_gumbel(logits):
    noise = np.random.gumbel(size=len(logits))
    sample = np.argmax(logits+noise)
    return sample
gumbel_samples = [sample_gumbel(logits) for _ in range(n_samples)]

def sample_uniform(logits):
    noise = np.random.uniform(size=len(logits))
    sample = np.argmax(logits+noise)
    return sample
uniform_samples = [sample_uniform(logits) for _ in range(n_samples)]

def sample_normal(logits):
    noise = np.random.normal(size=len(logits))
    sample = np.argmax(logits+noise)
    return sample
normal_samples = [sample_normal(logits) for _ in range(n_samples)]

plt.figure(figsize=(10,4))
plt.subplot(1,4,1)
plot_probs()
plt.subplot(1,4,2)
gumbel_estd_probs = plot_estimated_probs(gumbel_samples,'Gumbel ')
plt.subplot(1,4,3)
normal_estd_probs = plot_estimated_probs(normal_samples,'Normal ')
plt.subplot(1,4,4)
uniform_estd_probs = plot_estimated_probs(uniform_samples,'Uniform ')
plt.tight_layout()

print('Original probabilities:\t\t',end='')
print_probs(probs)
print('Gumbel Estimated probabilities:\t',end='')
print_probs(gumbel_estd_probs)
print('Normal Estimated probabilities:\t',end='')
print_probs(normal_estd_probs)
print('Uniform Estimated probabilities:',end='')
print_probs(uniform_estd_probs)

plt.figure()
plt.subplot(1,2,1)
plot_probs()
plt.subplot(1,2,2)
estd_probs = plot_estimated_probs(samples)
plt.tight_layout()#紧凑显示图片

print('Original probabilities:\t\t',end='')
print_probs(probs)
print('Estimated probabilities:\t',end='')
print_probs(estd_probs)

plt.figure()
plot_probs()
plt.show()
pass

1
2

Original probabilities:         [0.24675324675324675, 0.1038961038961039, 0.03896103896103896, 0.23376623376623376, 0.09090909090909091, 0.14285714285714285, 0.14285714285714285]
Estimated probabilities:        [0.26, 0.109, 0.041, 0.244, 0.087, 0.113, 0.146]

真实分布

随机采样，就是真实分布

要是没有不能求梯度这个问题，直接从原分布采样是再好不过的。

接着通过前述的方法添加Gumbel噪声采样，同时也添加正态分布和均匀分布的噪声作对比

from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


n_cats = 7
cats = np.arange(n_cats)
probs = np.random.randint(low=1, high=20, size=n_cats)
probs = probs / sum(probs)
logits = np.log(probs)
def plot_probs():
    plt.bar(cats, probs)
    plt.xlabel("Category")
    plt.ylabel("Probability")


n_samples = 1000
def plot_estimated_probs(samples,ylabel=''):
    n_cats = np.max(samples)+1
    estd_probs,_,_ = plt.hist(samples,bins=np.arange(n_cats+1),align='left',edgecolor='white',density=True)
    plt.xlabel('Category')
    plt.ylabel(ylabel+'Estimated probability')
    return estd_probs

def print_probs(probs):
    print(probs.tolist())

samples = np.random.choice(cats,p=probs,size=n_samples) 

def sample_gumbel(logits):
    noise = np.random.gumbel(size=len(logits))
    sample = np.argmax(logits+noise)
    return sample
gumbel_samples = [sample_gumbel(logits) for _ in range(n_samples)]

def sample_uniform(logits):
    noise = np.random.uniform(size=len(logits))
    sample = np.argmax(logits+noise)
    return sample
uniform_samples = [sample_uniform(logits) for _ in range(n_samples)]

def sample_normal(logits):
    noise = np.random.normal(size=len(logits))
    sample = np.argmax(logits+noise)
    return sample
normal_samples = [sample_normal(logits) for _ in range(n_samples)]

plt.figure(figsize=(10,4))
plt.subplot(1,4,1)
plot_probs()
plt.subplot(1,4,2)
gumbel_estd_probs = plot_estimated_probs(gumbel_samples,'Gumbel ')
plt.subplot(1,4,3)
normal_estd_probs = plot_estimated_probs(normal_samples,'Normal ')
plt.subplot(1,4,4)
uniform_estd_probs = plot_estimated_probs(uniform_samples,'Uniform ')
plt.tight_layout()

print('Original probabilities:\t\t',end='')
print_probs(probs)
print('Gumbel Estimated probabilities:\t',end='')
print_probs(gumbel_estd_probs)
print('Normal Estimated probabilities:\t',end='')
print_probs(normal_estd_probs)
print('Uniform Estimated probabilities:',end='')
print_probs(uniform_estd_probs)

plt.figure()
plt.subplot(1,2,1)
plot_probs()
plt.subplot(1,2,2)
estd_probs = plot_estimated_probs(samples)
plt.tight_layout()#紧凑显示图片

print('Original probabilities:\t\t',end='')
print_probs(probs)
print('Estimated probabilities:\t',end='')
print_probs(estd_probs)

plt.figure()
plot_probs()
plt.show()
pass

Original probabilities:         [0.24675324675324675, 0.1038961038961039, 0.03896103896103896, 0.23376623376623376, 0.09090909090909091, 0.14285714285714285, 0.14285714285714285]
Gumbel Estimated probabilities: [0.23, 0.109, 0.034, 0.219, 0.089, 0.16, 0.159]
Normal Estimated probabilities: [0.29, 0.094, 0.012, 0.284, 0.054, 0.138, 0.128]
Uniform Estimated probabilities:[0.523, 0.002, 0.0, 0.419, 0.0, 0.028, 0.028]

可以明显看到Gumbel噪声的采样效果是最好的，正态分布其次，均匀分布最差。也就是说可以用Gumbel分布做Re-parameterization使得整个图计算可导，同时样本点最接近真实分布的样本。

数学证明

为什么添加 Gumbel 噪声有如此效果，下面阐述问题并给出证明。

假设有一个 $K$ 维的输出向量，每个维度的值记为 $x_k$,通过 softmax 函数可得，取到每个维度的概率为：

$$ \pi_{k}=\frac{e^{x_{k}}}{\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{x_{k^{\prime}}}} $$

这是直接 softmax 得到的概率密度函数，如果换一种方式，对每个 $x_k$ 添加独立的标准 Gumbel 分布(尺度参数为1，位置参数为0)噪声，并选择值最大的维度作为输出，得到的概率密度同样为 $π_k$。

下面给出Gumbel分布的概率密度函数和分布函数，并证明这件事情。

尺度参数为1，位置参数为 $μ$ 的Gumbel分布的PDF为:

$$ f(z ; \mu)=e^{-(z-\mu)-e^{-(z-\mu)}} $$ CDF为 $$ F(z ; \mu)=e^{-e^{-(z-\mu)}} $$

假设第$k $个Gumbel分布对应 $x_k$,加和得到随机变量 $z_k=x_k+G_k$,即相当于 $z_k$ 服从尺度参数为1，位置参数为 $μ=x_k$的 Gumbel分布。要证明这样取得的随机变量 $z_k$与原随机变量相同，只需证明取到 $z_k$ 的概率为 $π_k$。也就是 $z_k$比其他所有 $z_{k′}(k′≠k)$大的概率为 $π_k$，即:

$$ P\left(z_{k} \geq z_{k^{\prime}} ; \forall k^{\prime} \neq k \mid\left\{x_{k^{\prime}}\right\}_{k^{\prime}=1}^{K}\right)=\pi_{k} $$ 关于 $z_k$ 的条件累积概率分布函数为 $$ \begin{array}{c}P\left(z_{k} \geq z_{k^{\prime}} ; \forall k^{\prime} \neq k \mid z_{k},\left\{x_{k^{\prime}}\right\}_{k^{\prime}=1}^{K}\right)=P\left(z_{1} \leq z_{k}\right) P\left(z_{2} \leq z_{k}\right) \cdots P\left(z_{k-1} \leq z_{k}\right) P\left(z_{k+1} \leq z_{k}\right) \cdots \\ \cdot P\left(z_{K} \leq z_{k}\right)\end{array} $$ 即: $$ P\left(z_{k} \geq z_{k^{\prime}} ; \forall k^{\prime} \neq k \mid z_{k},\left\{x_{k^{\prime}}\right\}_{k^{\prime}=1}^{K}\right)=\prod_{k^{\prime} \neq k} e^{-e^{-\left(z_{k}-x_{k^{\prime}}\right)}} $$ 对 $z_k$ 求积分可得边缘累积概率分布函数 $$ P\left(z_{k} \geq z_{k^{\prime}} ; \forall k^{\prime} \neq k \mid\left\{x_{k^{\prime}}\right\}_{k^{\prime}=1}^{K}\right)=\int P\left(z_{k} \geq z_{k^{\prime}} ; \forall k^{\prime} \neq k \mid z_{k},\left\{x_{k^{\prime}}\right\}_{k^{\prime}=1}^{K}\right) \cdot f\left(z_{k} ; x_{k}\right) d z_{k} $$ 带入式子有 $$ P\left(z_{k} \geq z_{k^{\prime}} ; \forall k^{\prime} \neq k \mid\left\{x_{k^{\prime}}\right\}_{k^{\prime}=1}^{K}\right)=\int \prod_{k^{\prime} \neq k} e^{-e^{-\left(z_{k}-x_{k}\right)}} \cdot e^{-\left(z_{k}-x_{k}\right)-e^{-\left(z_{k}-x_{k}\right)}} d z_{k} $$ 化简有 $$ \begin{array}{l}P\left(z_{k} \geq z_{k^{\prime}} ; \forall k^{\prime} \neq k \mid\left\{x_{k^{\prime}}\right\}_{k^{\prime}=1}^{K}\right) \\ =\int \prod_{k^{\prime} \neq k} e^{-e^{-\left(z_{k}-x_{k^{\prime}}\right)}} \cdot e^{-\left(z_{k}-x_{k}\right)-e^{-\left(z_{k}-x_{k}\right)}} d z_{k} \\ =\int e^{-\sum_{k^{\prime} \neq k} e^{-\left(z_{k}-x_{k^{\prime}}\right)}-\left(z_{k}-x_{k}\right)-e^{-\left(z_{k}-x_{k}\right)}} d z_{k} \\ =\int e^{-\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{-\left(z_{k}-x_{k^{\prime}}\right)}-\left(z_{k}-x_{k}\right)} d z_{k} \\ =\int e^{-\left(\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{x^{\prime}}\right) e^{-z_{k}-z_{k}+x_{k}}} d z_{k} \\ =\int e^{-e^{-z_{k}+\ln \left(\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{\left.x_{k^{\prime}}\right)}\right.}-z_{k}+x_{k}} d z_{k} \\ =\int e^{-e^{-\left(z_{k}-\ln \left(\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{x_{k^{\prime}}}\right)\right)}-\left(z_{k}-\ln \left(\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{x_{k^{\prime}}}\right)\right)-\ln \left(\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{x_{k^{\prime}}}\right)+x_{k}} d z_{k} \\ =e^{-\ln \left(\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{x_{k^{\prime}}}\right)+x_{k}} \int e^{-e^{-\left(z_{k}-\ln \left(\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{\left.x_{k^{\prime}}\right)}\right)\right.}-\left(z_{k}-\ln \left(\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{x_{k^{\prime}}}\right)\right)} d z_{k} \\ =\frac{e^{x_{k}}}{\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{x_{k^{\prime}}}} \int e^{-e^{-\left(z_{k}-\ln \left(\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{x_{k^{\prime}}}\right)\right)}-\left(z_{k}-\ln \left(\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{x_{k^{\prime}}}\right)\right)} d z_{k} \\ =\frac{e^{x_{k}}}{\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{x_{k^{\prime}}}} \int e^{-\left(z_{k}-\ln \left(\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{x_{k^{\prime}}}\right)\right)-e^{-\left(z_{k}-\ln \left(\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{x_{k^{\prime}}}\right)\right)}} d z_{k} \\\end{array} $$ 积分里面是 $ \mu=\ln \left(\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{x_{k^{\prime}}}\right) $ 的Gumbel分布，所以整个积分为1。则有 $$ P\left(z_{k} \geq z_{k^{\prime}} ; \forall k^{\prime} \neq k \mid\left\{x_{k^{\prime}}\right\}_{k^{\prime}=1}^{K}\right)=\frac{e^{x_{k}}}{\sum_{k^{\prime}=1}^{K} e^{x_{k^{\prime}}}} $$ 这和softmax的结果一致。