标准误差 - 又见苍岚

本文最后更新于：2023年12月5日下午

我们学过了方差，也学过置信区间，当我们需要度量某个统计量关于真值的偏差时，就需要用到标准误差的概念。

我们熟悉方差、标准差，除了标准差还有 标准误差的概念，也称做 标准误，标准差与标准误差是两个不同的概念。

标准误差是指在抽样试验（或重复的等精度测量）中，常用到样本平均数的标准差。

标准误差是当前应用最广泛、最基本的一种随机误差的表示方法，当标准误差求得后，平均误差和极限差即可求得故国际上普遍采用标准误差作为实验结果质量的数字指标

$$
s=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$

设 $ \mathrm{n} $ 个测量值的误差为 $ E_{1} 、 E_{2} \ldots \ldots E_{n^{\prime}} $ 则这组测量值的标准差 $ \sigma $ 等于:

$$ \sigma=\sqrt{\frac{E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+\cdots+E_{n}^{2}}{n}}=\sqrt{\frac{\sum E_{i}^{2}}{n}} $$

其中， $ E_i=X_i-T_i $ 式中： $ E $ - 误差； $ X $ - 测定值； $ \mathrm{T} $ - 真实值。

上述得到的标准差表示的是单次测量精度，如果我们等精度地 $m$ 次测量数据，假设真值为 $T$，我们会得到$ {x_1, x_2,…,x_m}$ 测量样本，并且用均值 $\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{m}{x_i}}{m}$来估计 $T$，那么这个估计的偏差是多少呢
我们可以计算 $\bar{x}$ 的均值为 $T$，方差为:
$$ \sigma^2_m =\frac{m\sigma^2}{m^2}=\frac{\sigma^2}{m} $$
$\bar{x}$ 的标准差为:
$$
\sigma_m =\frac{\sigma}{\sqrt{m}}
$$
表示的是用于估计测量 $T$ 的统计量 $\bar{x}$ 的波动程度
如果需要确定 $\bar{x}$ 的置信度和置信区间，只需要用 $\sigma_m$ 作为标准差计算就可以了
需要注意的是，标准误差不是测量值的实际误差，也不是误差范围，它只是对一组测量数据可靠性的估计。标准误差小，测量的可靠性大一些，反之，测量就不大可靠。