概率论基础 - 2 - 期望

本文最后更新于:2021年11月1日 中午

本文介绍期望。

期望

定义

数学期望(mean)(或均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和,是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。 ——百度百科

  • 期望描述了随机变量的平均情况,衡量了随机变量 的均值。它是概率分布的泛函(函数的函数)。

计算方法

离散型
  • 离散随机变量$X$的期望:

$$
\mathbb{E}[X]=\sum_{i=1}^{\infty} x_{i} p_{i}
$$

  • 若右侧级数不收敛,则期望不存在。
连续型
  • 连续随机变量$X$的期望:

$$
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x p(x) d x
$$

  • 若右侧级数不收敛,则期望不存在。

定理

  • 定理:对于随机变量$ X$, 设 $ Y=g(X) $ 也为随机变量,$ g(\cdot) $ 是连续函数。
离散型
  • 若$ X$为离散随机变量,若$ Y$的期望存在,则:

$$
\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[g(X)]=\sum_{i=1}^{\infty} g\left(x_{i}\right) p_{i}
$$

  • 也记作:
$$ \mathbb{E}_{X \sim P(X)}[g(X)]=\sum_{x} g(x) p(x) $$
连续型
  • 若$ X$为连续随机变量,若$ Y$的期望存在,则:

$$
\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[g(X)]=\int_{-\infty}^{\infty} g(x) p(x) d x
$$

  • 也记作:

$$
\mathbb{E}_{X \sim P(X)}[g(X)]=\int g(x) p(x) d x
$$

用法
  • 该定理的意义在于:当求$\mathbb{E}[Y]$ 时,不必计算出$Y$的分布,只需要利用$X$的分布即可。
  • 该定理可以推广至两个或两个以上随机变量的情况。

性质

  • 常数的期望就是常数本身

  • 对常数$C$有 :
    $$
    \mathbb{E}[C X]=C \mathbb{E}[X]
    $$

  • 对两个随机变量 $X,Y$,有:

$$
\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]
$$

该结论可以推广到任意有限个随机变量之和的情况

  • 对两个相互独立的随机变量,有:

$$
\mathbb{E}[X Y]=\mathbb{E}[X] \mathbb{E}[Y]
$$

该结论可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况

参考资料