广义牛顿二项式定理

本文最后更新于：2023年12月5日下午

二项式定理描述了二项分布的概率计算方式，但当指数不是整数时二项定理就显得有些奇怪，此时需要用到广义牛顿二项式定理。

广义二项式定理

二项式定理:

$$ (x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) x^{n-k} y^{k} $$ 其中 $ \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !} $ 是组合数。

当 $n$ 不是正整数时, $k$ 无法正好求和到 $n$, 因此将一直求和至正无穷, 这样形式上就得到了广义二项式定理:

$$ (x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\begin{array}{l}\alpha \\ k\end{array}\right) x^{\alpha-k} y^{k} $$

其中 $ \left(\begin{array}{l}\alpha \ k\end{array}\right)=\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-k+1)}{k !} $ 是形式上的组合数。

实际上广义二项式定理并非总是成立, 因为等式右边不一定收敛.

本质

广义二项式定理实际上就是 $(1+x)^\alpha$ 的幂级数展开:

$$ \begin{array}{l} f(x)&=(1+x)^\alpha\\ & =f(0)+\frac{f'(0)x}{1!}+\frac{f''(0)x^2}{2!}+\frac{f'''(0)x^3}{3!}+···+ \frac{f^{(k)}(0)x^k}{k!}\\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-k+1)}{k !}x^k \end{array} $$

这里 $\alpha$ 是有理数，这样就可以展开形如 $ \sqrt{1+x} 、 \frac{1}{1+x} $ 之类的方程。

$$ \begin{array}{l}(1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{1}{16} x^{3}-\frac{5}{128} x^{4}+\cdots \\ \frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots\end{array} $$

证明

经典的二项式定理，就是牛顿二项式，也就是广义二项式定理的特殊情况。牛顿猜测出这样的展开式之后并没有给出证明，后来欧拉完善了这个证明，现在根据欧拉的方法来证明一下。

构造一个函数：
$$
f(m)=1+m x+\frac{m(m-1)}{2 !} x^{2}+\cdots
$$
这里m是有理数，先证明f这个函数满足f(m)f(n)=f(m+n)，回忆经典二项式定理，若a，b是正整数，则

$$ \begin{array}{l}f(a)=1+a x+\frac{a(a-1)}{2 !} x^{2}+\cdots=(1+x)^{a} \\ f(b)=1+b x+\frac{b(b-1)}{2 !} x^{2}+\cdots=(1+x)^{b} \\ f(a+b)=(1+x)^{a+b}=(1+x)^{a} \cdot(1+x)^{b}=f(a) f(b)\end{array} $$

这样f(a+b)与f(a)f(b)同类项的系数一定相等，f(a+b)的第（k+1）项为
$$
\frac{(a+b)(a+b-1) \cdots(a+b-k+1)}{k !} x^{k}
$$
f(a)f(b)的x^k这一项的系数为
$$
\sum_{i=0}^{k} \frac{a(a-1) \cdots(a-i+1)}{i !} \cdot \frac{b(b-1) \cdots(b-k+i+1)}{(k-i) !}
$$
由于f(a+b)=f(a)f(b)，于是
$$
\frac{(a+b)(a+b-1) \cdots(a+b-k+1)}{k !}=\sum_{i=0}^{k} \frac{a(a-1) \cdots(a-i+1)}{i !} \cdot \frac{b(b-1) \cdots(b-k+i+1)}{(k-i) !}
$$
这是一个恒等式，对于任意正整数a,b成立，牛顿二项式的推广本质来说是这个恒等式对于有理数也成立，甚至对实数、复数都成立。我们在扩充数域的时候保证了运算法则的兼容，也就是不管是整数、有理数、实数、复数，它们都满足加法和乘法的交换律、结合律，满足乘法分配率，于是既然这个恒等式在整数集成立，在有理数集必然也成立。