洛必达法则

本文最后更新于:2022年8月10日 上午

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

简介

众所周知,两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在,也可能不存在。因此,求这类极限时往往需要适当的变形,转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。

类型

零比零型

  • 若函数$f(x)$和$g(x)$满足如下条件:
  1. 在$a$点收敛于0

$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0
$$

  1. 在点 $a$ 的某去心邻域内两者都可导,且 $g^{\prime}(x) \neq 0$
  2. $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f{\prime}(x)}{g{\prime}(x)}=A\left(A\right.$ 可为实数,也可为 $\left.\pm {\infty}\right),$ 则
    $$
    \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f{\prime}(x)}{g{\prime}(x)}=A
    $$

无穷比无穷型

  • 若函数$f(x)$和$g(x)$满足如下条件:
  1. 在$a$点收敛于无穷

$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty , \lim _{x \rightarrow a} g(x)=\infty
$$

  1. 在点 $a$ 的某去心邻域内两者都可导,且 $g^{\prime}(x) \neq 0$
  2. $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f{\prime}(x)}{g{\prime}(x)}=A\left(A\right.$ 可为实数,也可为$\left.\pm {\infty}\right),$ 则:

$$
\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f{\prime}(x)}{g{\prime}(x)}=A
$$

其他不定式

  • 不定式极限还包括
    • $0 \cdot \infty $
    • $1^\infty$
    • $0^0$
    • $\infty^0$
    • $\infty - \infty$
  • 经过简单变化,一般可以转化为零比零和无穷比无穷型的极限

注意

  • 注意:不能在数列形式下直接用洛必达法则,因为对于离散变量$n∈N $是无法求导数的
  • 在运用洛必达法则之前,首先要完成两项任务:
    • 一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大);
    • 二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。
  • 如果这两个条件都满足,接着求导并判断求导之后的极限是否存在:
    • 如果存在,直接得到答案;
    • 如果不存在,则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决;
    • 如果不确定,即结果仍然为未定式,再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

参考资料


洛必达法则
https://www.zywvvd.com/notes/study/math/LHolpitals-Rule/LHolpitals-Rule/
作者
Yiwei Zhang
发布于
2021年3月30日
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