逆矩阵 - 又见苍岚

本文最后更新于：2024年1月14日晚上

逆矩阵在很多数学和工程应用中都有广泛的应用，包括线性代数、微积分、控制论、信号处理等领域。

定义

对于 $n$ 阶方阵 $ A $ ，如果存在一个矩阵 $ B $ ，使得 $ A B=B A=E $ ，其中 $ E $ 为与 $ A ， B $ 同维数的单位阵，就称 $ A $ 为可逆矩阵（或者称 $ A $ 可逆)，并称 $ B $ 是 $ A $ 的逆矩阵，记作 $ B=A^{-1} $ 。

这其中就隐含了 $A$ 需要是方阵，并且 $A$ 需要满秩。那么对于不满秩的方阵或者非方阵的矩阵是否存在逆矩阵，如何定义、求解这种逆矩阵，这也就引入了伪逆矩阵、广义逆矩阵的概念。

注意：

可逆阵一定是方阵，但不是所有方阵均可逆．
当可逆时，其逆矩阵也可逆，它们互为逆矩阵．
若可逆，则其逆阵是唯一的．

证明逆矩阵唯一

设 $B$、$C$ 都是 $A$ 的逆矩阵，即:

$$ \begin{array}{l}A B=B A=E \\ A C=C A=E\end{array} $$

因此有：
$$
B=B E=B(A C)=(B A) C=E C=C
$$
因此逆矩阵是唯一的。

方阵可逆的充分必要条件

若 $AB＝E$(或 $BA＝E$)，则$A$与$B$均可逆，且互为逆阵，即$A^{{-1}＝B$，同时$B}{-1}=A$．
行列式不为零

通常将行列式不为零的方阵称为非奇异矩阵，行列式为零的方阵称为奇异矩阵，所以也可以说：

$方阵 $ A $ 可逆 $ <=>A $ 为非奇异矩阵.$
$A$ 满秩

可逆方阵的性质

若 $ A $ 可逆, 则 $ A^{-1} $ 也可逆, 且 $ \left(A^{-1}\right)^{-1}=A $
若 $ A $ 可逆,数 $ \lambda \neq 0 $, 则 $ \lambda A $ 也可逆, 且 $ (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda} A^{-1} $, 特别地 $ (-A)^{-1}=-A^{-1} $
若 $ A, B $ 为同阶秬阵且均可迋则 $ A B $ 也可逆，且

$$ (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} $$

若 $ A $ 可逆,则 $ A^{\prime} $ 也可逆且 $ \left(A^{{\prime}\right)}{-1}=\left(A^{-1}\right) $
若 $ A $ 可道，则 $ \left|A^{-1}\right|=\frac{1}{|A|} $

求解可逆方阵

伴随矩阵

可以利用伴随矩阵来求解方阵的逆，其定义为：

设 $ n $ 阶矩阵 $ A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ & \cdots \cdots \cdots \cdots & \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right) $ ，其行列式 $ |A| $ 中元渍 $ a_{i j} $ 的代数余子式 $ A_{i j} $ 构成的矩阵：

$$ A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\ & \cdots & \cdots & \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n}\end{array}\right) $$

称为矩阵 $ A $ 的伴随矩阵。

矩阵 $ A $ 中各行的元素的代数余子式成为伴随矩阵中同序号的列的元素。

伴随矩阵性质

伴随矩阵具有性质：

$$ A A^{*}=A^{*} A=\left(\begin{array}{cccc}|A| & & & \\ & |A| & & \\ & & \ddots & \\ & & & |A|\end{array}\right)=|A| E $$

利用伴随矩阵求方阵的逆阵

$$
A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}
$$

例题

讨论矩阵 $ A=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 5 \\ 3 & 2 & 3\end{array}\right] $ 的可逆性. 如果可逆，求出其逆矩阵.

因为：

$$ |A|=\left|\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 5 \\ 3 & 2 & 3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right|=-6 \neq 0 $$

所以方阵 $A$ 可逆。

计算伴随矩阵：

$$ \begin{array}{l}A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ll}1 & 5 \\ 2 & 3\end{array}\right|=-7, A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ll}3 & 5 \\ 3 & 3\end{array}\right|=6, A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 3 & 2\end{array}\right|=3, \\ A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 2 & 3\end{array}\right|=-4, A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 3 & 3\end{array}\right|=6, A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 3 & 2\end{array}\right|=0, \\ A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 5\end{array}\right|=9, A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 3 & 5\end{array}\right|=-12, A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 3 & 1\end{array}\right|=-3,\end{array} $$

所以：

$$ \begin{aligned} A^{-1} & =\frac{1}{|A|} A^{*}=\frac{1}{|A|}\left[\begin{array}{lll}A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33}\end{array}\right] \\ & =\frac{1}{-6}\left[\begin{array}{ccc}-7 & -4 & 9 \\ 6 & 6 & -12 \\ 3 & 0 & -3\end{array}\right]\\&=\left[\begin{array}{ccc}\frac{7}{6} & \frac{2}{3} & -\frac{3}{2} \\ -1 & -1 & 2 \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]\end{aligned} $$

逆矩阵的应用

利用逆阵求解矩阵方程

设矩阵方程为 $ A X=B ， A $ 是可逆方阵，即 $ A^{-1} $ 存在，在方程两边同时左乘 $ A^{-1} $ ，即得: $ \left(A^{-1} A\right) X=A^{-1} B $ ，从而得方程组的解: $ X=A^{-1} B $ ，求出 $ A^{-1} $ 代入即可.
设矩阵方程为 $ X A=B ， A $ 是可逆方阵，即 $ A^{-1} $ 存在，在方程两边同时右乘 $ A^{-1} $ ，即得: $ X\left(A A^{-1}\right)=B A^{-1} $ ，从而得方程组的解: $ X=B A^{-1} $ ，求出 $ A^{-1} $ 代入即可.
设矩阵方程为 $ A X B=C ， A $ 和 $ B $ 均为可逆方阵，即 $ A^{-1} $ 和 $ B^{-1} $ 均存在，在方程两边同时左乘 $ A^{-1} $ ，右乘 $ B^{-1} $ ，即得: $ \left(A^{-1} A\right) X\left(B B^{-1}\right)=A^{-1} C B^{-1} $ ，从而得方程组的解: $ X=A^{-1} C B^{-1} $ ，求出 $ A^{-1} $ 和 $ B^{-1} $ 代入即可.

注: 利用逆阵求解线性方程组是有条件的，首先系数矩阵必须是方阵，即方程组所含方程的个数与未知量的个数必须相等；其次系数矩阵还必须是可逆的．这和运用克莱姆法则解线性方程组的条件是一致的．

例题

解线性方程组：
$$ \left\{\begin{array}{c}x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=1 \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}-x_{2}-x_{3}=2\end{array}\right. $$

令 $ A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right] $ , 则方程组改写成矩阵方程 $ A X=B $. 如果 $ A $ 可逆，则方程组的解为: $ X=A^{-1} B $.

因为：

$$ |A|=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1\end{array}\right|=9 \neq 0 $$

故 $ A $ 可逆，即 $ A^{-1} $ 存在，

$$ A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & -5\end{array}\right] $$

因此：

$$ X=A^{-1} B=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{4}{9} \\ -\frac{1}{3} \\ -\frac{11}{9}\end{array}\right] $$

即：

$$ \left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{4}{9} \\ -\frac{1}{3} \\ -\frac{11}{9}\end{array}\right] $$

左右逆矩阵

逆矩阵是针对满秩的方阵来讲的，对于满秩的非方阵，仅存在单边的逆矩阵。

对于任意 $ m \times n $ 矩阵 $ A $ :

若存在 $ n \times m $ 矩阵 $ A^{L} $ 满足 $ A^{L} A=E $ ，则 $ A^{L} $ 称为矩阵 $ A $ 的左逆矩阵
若存在 $ m \times n $ 矩阵 $ A^{R} $ 满足 $ A A^{R}=E $ ，则 $ A^{R} $ 称为矩阵 $ A $ 的右逆矩阵
当 $A$ 列满秩时$ \left(\operatorname{rank}(A)=n\right. $ 时 $ A^{T} A $ 可逆)，矩阵 $ A $ 存在左逆矩阵 $ A^{L}=\left(A{T} A\right)^{-1} A^{T} $
当 $A$ 行满秩时$ \left(\operatorname{rank}(A)=m\right. $ 时 $ A A^{T} $ 可逆) ，矩阵 $ A $ 存在右逆矩阵 $ A^{R}=A{T}\left(A A^{T}\right){-1} $

当 $ m\ne n$ 时（非方阵），因为不能保证行、列均满秩，所以矩阵 $A$ 不可能同时拥有左逆矩阵和右逆矩阵；

如果矩阵 $ A$ 同时拥有左逆矩阵和右逆矩阵，那么矩阵一定是满秩方阵，此时左、右逆矩阵相同，均为矩阵的唯一逆矩阵。