概率论基础 - 15 - 伽马分布

本文最后更新于：2024年1月14日晚上

本文记录伽马分布。

整数次数的伽马分布

若事件服从泊松分布，泊松分布参数为$\lambda$，则事件第$i$ 次发生和第$i+k$ 次发生的时间间隔$t$的分布为伽玛分布。

概率密度函数

$$
p(t ; \lambda, k)=\frac{t^{(k-1)} \lambda^{k} e^{(-\lambda t)}}{\Gamma(k)}
$$

其中$ t $ 为时间间隔。

期望

$$
\mathbb{E}[t]=\frac{k}{\lambda}
$$

方差

$$
\operatorname{Var}[t]=\frac{k}{\lambda^{2}}
$$

上面的定义中 $ k $ 必须是整数。

更一般的伽马分布

事实上，若随机变量 $ X $ 服从伽马分布，则其概率密度函数为：

$$
p(X ; \alpha, \beta)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} X^{\alpha-1} e^{-\beta X}, \quad X>0
$$
记做 $ \Gamma(\alpha, \beta) $ 。其中 $ \alpha $ 称作形状参数， $ \beta $ 称作尺度参数。

期望

$$
\mathbb{E}[X]=\frac{\alpha}{\beta}
$$

方差

$$
\operatorname{Var}[X]=\frac{\alpha}{\beta^{2}}
$$

当 $ \alpha \leq 1 $ 时, $ p(X ; \alpha, \beta) $ 为递减函数。当 $ \alpha>1 $ 时, $ p(X ; \alpha, \beta) $ 为单峰函数。

整数次数伽马分布的理解

已知Gamma分布的密度函数为:
$$
f(x, \alpha, \lambda)=\frac{\lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)}, x>0
$$
则其在时间 $ (t,+\infty) $ 上的积分为

$$ \begin{aligned} \int_{t}^{+\infty} f(x, \alpha, \lambda) \cdot d x &=\int_{t}^{+\infty} \frac{\lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} \cdot d x \\ &=\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \int_{t}^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x} \cdot d x \\ & =\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \int_{t}^{+\infty} x^{\alpha-1} \cdot\left(-\frac{1}\\{\lambda}\right) \cdot d e^{-\lambda x} \\ &=\frac{-\lambda^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)} \int_{t}^{+\infty} x^{\alpha-1} \cdot d e^{-\lambda x} (分部积分)\\ &=\frac{-\lambda^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\left[\left(x^{\alpha-1} \cdot e^{-\lambda x}\right)_{t}^{+\infty}-\int_{t}^{+\infty} e^{-\lambda x} \cdot d x^{\alpha-1}\right] \\ &=\frac{-\lambda^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\left[\left(x^{\alpha-1} \cdot e^{-\lambda x}\right)_{t}^{+\infty}-\int_{t}^{+\infty}(\alpha-1) x^{\alpha-2} \cdot e^{-\lambda x} \cdot d x\right] \\ &=\left[\frac{ \left.-\lambda^{\alpha-1} \cdot x^{\alpha-1} \cdot e^{-\lambda x}\right)}{\Gamma(\alpha)}\right]^{+\infty}+\int_{t}^{+\infty} \frac{\lambda^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha-1)} x^{\alpha-2} \cdot e^{-\lambda x} \cdot d x \\ &=\left[\frac{ \left.-\lambda^{\alpha-1} \cdot x^{\alpha-1} \cdot e^{-\lambda x}\right)}{\Gamma(\alpha)}\right]_{t}^{+\infty}+\int_{t}^{+\infty} f(x, \alpha-1, \lambda) \cdot d x \end{aligned} $$

即有：

$$ \int_{t}^{+\infty} f(x, \alpha, \lambda) \cdot d x=\int_{t}^{+\infty} f(x, \alpha-1, \lambda) \cdot d x+\frac{(\lambda t)^{\alpha-1} \cdot e^{-\lambda t}}{\Gamma(\alpha)} $$

令 $ \alpha $ 为 $ n, \quad n=0,1,2, \cdots $, 有

$$
\int_{t}^{+\infty} f(x, n, \lambda) \cdot d x=\int_{t}^{+\infty} f(x, n-1, \lambda) \cdot d x+\frac{(\lambda t)^{n-1} \cdot e^{-\lambda t}}{(n-1) !}
$$

叠加求和, 得:

$$
\int_{t}^{+\infty} f(x, n, \lambda) \cdot d x=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(\lambda t)^{k} \cdot e^{-\lambda t}}{k !}
$$

Gamma分布上述积分形式即可理解为: 第 $ n $ 个事件恰好发生在时间 $ (t,+\infty) $ 的概率, 相当于在时间 $ (0, t) $ 内发生恰好发生 $ 0,1,2, \cdots, n-1 $ 个事件的概率总和。

也可以反过来说，伽马分布是$n$个独立的指数分布随机变量的和。

伽马函数

伽玛函数（Gamma Function）作为阶乘的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成 $ \Gamma(x) $ 。

在$x$取值为正整数时与阶乘是统一的。

在实数域上伽玛函数定义为:

$$
\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm{~d} t(x>0)
$$

在复数域上伽玛函数定义为:

$$
\Gamma(z)=\int_{0}^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} \mathrm{~d} t
$$

其中 $ \operatorname{Re}(z)>0 $, 此定义可以用解析延拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。

除了以上定义之外，伽马函数公式还有另外一个写法:

$$
\Gamma(x)=2 \int_{0}^{+\infty} t^{2 x-1} e^{-t{2}} \mathrm{~d} t
$$

我们都知道 $ \int_{0}^{+\infty} e^{-t{2}} \mathrm{~d} t=\frac{\sqrt{\pi}}{2} $ 是一个常用积分结果

上述公式可以用 $ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=2 \int_{0}^{\perp \infty} e^{-t{2}} \mathrm{~d} t=\sqrt{\pi} $ 来验证