3D 坐标系变换的理解

坐标系变换矩阵用于转换3D空间中的坐标系, 本文记录相关概念。

3D 坐标系变换矩阵描述了一个 3维空间点或向量如何从一个坐标系转换到另一个坐标系。

数学表示

$$
P_B = T_{AB} × P_A
$$

物理意义

对于这一变换公式, 有两种理解视角, 分别叫做主动变换和被动变换, 两种变换的数学表示是完全相同的, 但是物理意义不同

主动变换被认为改变了物体的位置, 物理世界因此发生了变化, 被动变换往往被认为改变了观测基准的位置, 物理世界没有发生任何改变

直观理解可以认为是一组3D 点在一个变换矩阵作用下被推走了, 或者点没有动, 坐标系被反向拉走了

主动变换 (Active Transformation)

物体在固定坐标系中发生运动（旋转、平移等），坐标系保持不变。

• 物体本身在空间中移动或旋转
• 观察者和参考坐标系保持固定
• 变换描述的是物体的运动

公式含义:

• $P_A$：物体变换前的位置
• $P_B$：物体变换后的位置
• $T_{AB}$：变换矩阵

此时 $T_{AB}$ 表示的是变换矩阵, 计算得到的结果是点云在变换矩阵作用下的变换结果, 坐标系始终没有变化.

被动变换 (Passive Transformation)

物体保持固定不动，观察者的坐标系发生变化。

• 物体在空间中的实际位置不变
• 观察者改变了自己的视角或坐标系
• 变换描述的是坐标系的改变

公式含义:

• $P_A$：点在坐标系A中的坐标
• $P_B$：点在坐标系B中的坐标
• $T_{AB}$：从坐标系A到坐标系B的变换矩阵, 事实上也是从 B 坐标系看 A 坐标系原点的位姿

常用于机器人领域中的坐标系变换

文章链接：
https://www.zywvvd.com/notes/study/linear-algebra/rotate-matrix/coor-trans/