DCT 离散余弦变换

DCT 变换的全称是离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)，主要运用于数据或图像的压缩。本文记录相关内容。

概述

DCT变换的全称是离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)，主要运用于数据或图像的压缩。
由于DCT能够将空域的信号转换到频域上，因此具有良好的去相关性的性能。DCT变换本身是无损的且具有对称性。对原始图像进行离散余弦变换，变换后DCT系数能量主要集中在左上角，其余大部分系数接近于零。将变换后的DCT系数进行门限操作，将小于一定值得系数归零，这就是图像压缩中的量化过程，然后进行逆DCT运算，可以得到压缩后的图像。

定义

• 一维 DCT 变换

$$ \begin{array}{c} F(u)=c(u) \sum_{i=0}^{N-1} f(i) \cos \left[\frac{(i+0.5) \pi}{N} u\right] \\ c(u)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\frac{1}{N}}, u=0 \\ \sqrt{\frac{2}{N}}, u \neq 0\end{array}\right. \end{array} $$

其中，$f(i)$为原始的信号，$F(u)$是DCT变换后的系数，$N$为原始信号的点数，$c(u)$可以认为是一个补偿系数，可以使DCT变换矩阵为正交矩阵。

• 二维 DCT 变换

$$ \begin{array}{c} F(u, v)=c(u) c(v) \sum_{i=0}^{N-1} \sum_{j=0}^{N-1} f(i, j) \cos \left[\frac{(i+0.5) \pi}{N} u\right] \cos \left[\frac{(j+0.5) \pi}{N} v\right] \\ c(u)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\frac{1}{N}}, u=0 \\ \sqrt{\frac{2}{N}}, u \neq 0\end{array}\right. \end{array} $$

其中，$f(i,j)$为原始的信号，$F(u,v)$是DCT变换后的系数，$N$为原始信号的点数，$c(u),c(v)$可以认为补偿系数，可以使DCT变换矩阵为正交矩阵。

推导

这么神奇的定义其实是 DFT 变换推导而来

由来

• 在开始讲DCT变换之前，我们来看看DFT的变换公式

$$
X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\cos \left(\frac{2 \pi \mathrm{kn}}{N}\right)-\mathrm{j} \sin \left(\frac{2 \pi \mathrm{kn}}{N}\right)\right)
$$

• 将上式拆开

$$
X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\cos \frac{2 \pi \mathrm{kn}}{N}\right)-j \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \sin \left(\frac{2 \pi k n}{N}\right)
$$

• 实数部分为：

$$
\sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\cos \frac{2 \pi \mathrm{kn}}{N}\right)
$$

• 虚数部分为：

$$
j \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \sin \left(\frac{2 \pi k n}{N}\right)
$$

• 取 $ \cos \left(\frac{2 \pi k n}{N}\right)=\cos (k t) $，实数部分：

$$
R e[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cos (k t)
$$

• 虚数部分

$$
\operatorname{Im}[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \sin (k t)
$$

• 当 $x[n]$ 为实偶函数时，$x[n] \sin (k t)$ 为奇函数

  那么如果我们可以构造一个实偶函数在$[-p, p]$ 的累加区间，岂不是这部分虚数就为 0 了？

  为了这个念想开始了 DCT 变换的构造

构造 DCT 变换

如果输入信号是实偶信号就可以不考虑虚部的 DFT 计算了，但是事实上没有那么多偶函数信号来用，那么只要信号是实数我们可以自己构造一组偶函数信号

• 对于一组给定的真实实信号$ {x[0], x[1] \ldots x[N-1]} $，将这部分信号向负数方向镜像延拓一倍，用$x’$ 表示：

$$
{x’[-N],x’[-N+1],…,x’[-1],x’[0], x’[1] \ldots x’[N-1]}
$$

• 并且有：

$$
\begin{array}{c}
x^{\prime}[m]=x[m](0 \leq m \leq N-1) \
x^{\prime}[m]=x[-m-1](-N \leq m \leq-1)
\end{array}
$$

• 其中，蓝色为原始信号，红色为延拓后的信号这样，我们就将一个实信号变成了一个实偶信号，那么，对这个延拓的信号的DFT变换怎么写呢，显然，信号的区间已经从之前的$[0, N-1]$，变成了$[-N,N-1]$，因此，DFT 变换变为：

$$
X[k]=\sum_{m=-N}^{N-1} x^{\prime}[m] e^{\frac{-j 2 \pi m k}{2 N}}
$$

• 但是，这样的插值之后也随之带来了一个问题，这个信号并不关于m=0偶对称，它关于$ m=-\frac{1}{2} $ 对称，因此，为了让信号仍然关于原点对称，把整个延拓的信号向右平移$\frac{1}{2}$个单位

• 上式 DFT 变换调整为

$$
X[k]=\sum_{m=-N+\frac{1}{2}}^{N-\frac{1}{2}} x^{\prime}\left[m-\frac{1}{2}\right] e^{\frac{-j 2 \pi m k}{2 N}}
$$

• 此时信号已经为定义域关于 0 对称的实偶函数了，因此虚部系数为 0：

$$
X[k]=\sum_{m=-N+\frac{1}{2}}^{N-\frac{1}{2}} x^{\prime}\left[m-\frac{1}{2}\right] e^{\frac{-j 2 \pi m k}{2 N}}=\sum_{m=-N+\frac{1}{2}}^{N-\frac{1}{2}} x^{\prime}\left[m-\frac{1}{2}\right] \cos \left(\frac{2 \pi m k}{2 N}\right)
$$

• 此时 m 定义域有小数也有负数的部分，仍然不是十分合理，根据偶函数性质进一步变换，得到：

$$
\sum_{m=-N+\frac{1}{2}}^{N-\frac{1}{2}} x^{\prime}\left[m-\frac{1}{2}\right] \cos \left(\frac{2 \pi m k}{2 N}\right)=2 * \sum_{m=\frac{1}{2}}^{N-\frac{1}{2}} x^{\prime}\left[m-\frac{1}{2}\right] \cos \left(\frac{2 \pi m k}{2 N}\right)
$$

• 将变量进行替换，$m=n+\frac{1}{2}$，得到：

$$
2 * \sum_{n=0}^{N-1} x^{\prime}[n] \cos \left(\frac{2 \pi\left(n+\frac{1}{2}\right) k}{2 N}\right)=2 * \sum_{n=0}^{N-1} x^{\prime}[n] \cos \left(\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right) \pi k}{N}\right)
$$

• 至此 DCT 变换的核心部分已经出现了，系数$c(u)$是为了工程上矩阵运算正交化方便取了：

$$ c(u)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\frac{1}{N}}, u=0 \\ \sqrt{\frac{2}{N}}, u \neq 0\end{array}\right. $$

用途

• DCT变换是傅里叶变换的一种特殊情况，而真实数据绝大多数都是实数数据，进行DCT变换可以不再和虚数打交道，因此应用范围很广。
• 在数字图像领域 JPEG 图像压缩使用了 DCT变换。
• DCT同时也在音频信号处理，数字水印方面也发挥着各种作用。

参考资料

• https://www.jianshu.com/p/f8e36b00fcdf
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/85299446

文章链接：
https://www.zywvvd.com/notes/study/math/fourier-transform/dis-cosine-trans/dis-cosine-trans/